Sistema de conversiones numéricas (Unidad III)

Sistemas de conversiones numérica

Sistemas Binarios

El sistema binario es una técnica de numeración donde solo se utilizan dos dígitos, el 0 y el 1. Suele emplearse particularmente en la informática.

Es decir, este método se vale solo de dos símbolos, la unidad y el cero. Cualquier número puede expresarse tanto en el sistema decimal como en el binario.

Sistema Octal

El sistema octal es un sistema de numeración posicional de base ocho (8); es decir, que consta de ocho dígitos, que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Por lo tanto, cada dígito de un número octal puede tener cualquier valor de 0 a 7. Los números octales son formados a partir de los números binarios.

Esto es así porque su base es una potencia exacta de dos (2). Es decir, los números que pertenecen al sistema octal se forman cuando estos son agrupados en tres dígitos consecutivos, ordenados de derecha a izquierda, obteniendo de esa forma su valor decimal.

Sistema Decimal

El sistema decimal es una técnica de numeración en la que las cantidades se representan utilizando como base aritmética el número diez y sus potencias. Se trata del sistema de uso más común.

Es decir, el sistema decimal es aquel donde, para representar una cifra, se toma como referencia el 10. Así, cada dígito, de derecha a izquierda, se multiplica por diez elevado a una potencia, empezando desde 0 y siguiendo con el 1, 2, 3, y así consecutivamente en orden ascendente.

Sistema Hexadecimal 

El sistema hexadecimal es una técnica de numeración que tiene como base el 16. Se trata de un esquema alternativo al sistema decimal y al binario.

El sistema hexadecimal es aquel que utiliza entonces dieciséis dígitos, que serán los siguientes:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

En dicho conjunto, las letras del alfabeto latino tienen el siguiente valor expresado en el sistema decimal:

A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15

Además, vale indicar que este sistema es posicional, pues el valor de cada dígito dependerá de su posición.

Suma, resta, multiplicación y división de números primarios.

¿Como sumar números binarios?

La suma de dos números binarios sigue la misma mecánica que la suma entre números decimales. Simplemente hay que tener en cuenta las siguientes reglas:

0+0 = 0

0+1 = 1

1+0 = 1

1+1 = 0 (y llevamos 1)

En el caso de la suma binaria, llevamos una siempre que sumemos 1+1. Dicho de otra forma, en este caso deberemos sumar 1 a la columna que queda a la izquierda.

Ejemplo: 

¿Como restar números binarios?

Para restar dos números binarios podemos utilizar una mecánica muy similar a la que utilizamos para restar números decimales. En esta caso hay que tener en cuenta las siguientes reglas:

0-0 = 0

0-1 = 1 (y llevamos 1)

1-0 = 1

1-1 = 0

En el caso de la resta binaria, siempre que restemos 1 a 0 deberemos sumar 1 a la columna izquiera del sustraendo para seguir con la resta.

Ejemplo:

¿Como múltiplicar números binarios?

La multiplicación en binario es exactamente igual que en decimal, es decir, multiplica números de derecha a izquierda y multiplica cada dígito de un número por cada dígito del otro número, los suma. Las 3 reglas básicas de multiplicación binaria también son similares al decimal.

1 x 1 = 1

1 x 0 = 0 

0 x 1 = 0

0 x 0 = 0

Además, recuerde que por cada desplazamiento a la izquierda del dígito del multiplicador, se debe agregar un cero adicional al producto. Esto también es similar al sistema decimal.

¿Como dividir números binarios?

Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.

Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:

 Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la división tomando un dígito más (1001 entre 100).

Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.

Conversiones numéricas entre los sistemas antes mencionados.

-Conversión de Decimal a Binario

Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos.

Método 1 por divisiones sucesivas, el cual consiste en:

Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es el bit menos significativo (LSB).

Método 2:

Otra forma de obtener el numero decimal a binario es realizar lo siguiente:

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77 / 2 = 38 Resto: 1

38 / 2 = 19 Resto: 0

19 / 2 = 9 Resto: 1

9 / 2 = 4 Resto: 1

4 / 2 = 2 Resto: 0

2 / 2 = 1 Resto: 0

1 / 2 = 0 Resto: 1

y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

Decimal 77 = Binario 1001101

-Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:

122 / 8 = 15 Resto: 2

15 / 8 = 1 Resto: 7

1 / 8 = 0 Resto: 1

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

Decimal 122 = Octal 172

-Conversión de un número decimal a hexadecimal

Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número decimal 1735 será necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 / 16 = 108 Resto: 7

108 / 16 = 6 Resto: C es decir, 12 en decimal

6 / 16 = 0 Resto: 6

De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:

decimal 1735 = hexadecimal 6C7

-Conversión de Binario a Octal  

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos bi­narios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

101 = 5 octal

001 = 1 octal

011 = 3 octal

De ese modo el número binario 101001011 = octal 513

La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 750 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos: 

7 octal = 111

5 octal = 101

0 octal = 000

y, por tanto el número octal 750 = 111101000 binario

-Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "con­trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 101001110011 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:  

1010 = A

0111 = 7

0011 = 3

y, por tanto el número binario 101001110011 = al hexadecimal A73

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:

101110 = 00101110 = 2E en hexadecimal

La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F6 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:

1 = 0001

F = 1111

6 = 0110

y, por lo tanto el número hexadecimal 1F6 = al binario 000111110110